Este libro está dirigido a los estudiantes de los cursos iniciales de los grados de ciencias, ingenierías y matemáticas que se adentran por primera vez en el mundo de las ecuaciones diferenciales y las funciones especiales. La obra está especialmente concebida para los nuevos planes de estudio que siguen las directrices del plan Bolonia, en las que el estudiante y no el profesor debe ser el principal actor en el proceso de aprendizaje. El estudiante proveniente del bachillerato encontrará en este libro una introducción gradual y amigable a la resolución de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden, así como a los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Junto a estos métodos matemáticos, se presentan también las propiedades básicas de algunas de las funciones más notorias que aparecen a menudo formando parte de las soluciones de estas ecuaciones: las funciones Gamma y Beta, las de Airy y Bessel, y las hipergeométricas. El estudio de las ecuaciones diferenciales y las funciones especiales se complementa en este libro con una introducción al uso de Sage, un paquete de software matemático muy versátil y gratuito que será de gran ayuda al estudiante a lo largo de sus estudios universitarios y su vida profesional.

Introducción 11
1. Prolegómenos 19
1.1. Clasificación de las ecuaciones diferenciales 19
1.2. Solución de una ecuación diferencial 22
1.3. Ecuaciones diferenciales de primer orden de variables separadas 26
1.4. Teorema de existencia y unicidad para problemas de valores iniciales 28
1.5. Uso de Sage en la resolución de ecuaciones diferenciales 31
1.6. Problemas resueltos 38
1.7. Ejercicios 40
2. Solución de las ecuaciones diferenciales de primer orden 45
2.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden lineales 46
2.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales 47
2.2.1. Cambio de variables 47
2.2.2. Ecuaciones homogéneas 49
2.2.3. Ecuaciones de Bernoulli 51
2.2.4. Ecuaciones de Ricatti 51
2.2.5. Cambio y(x) a x(y) 52
2.2.6. Ecuaciones exactas 53
2.2.7. Factor integrante 57
2.3. Uso de Sage en la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden 58
2.3.1. Extracción de información cualitativa a partir de un campo de pendientes 58
2.3.2. Extracción de soluciones analíticas de una ecuación de primer orden 60
2.3.3. Extracción de soluciones numéricas de una ecuación de primer orden 61
2.4. Problemas resueltos 64
2.5. Ejercicios 70
3. EDOs lineales de orden superior (I) 73
3.1. Definiciones y teorema de existencia y unicidad 73
3.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior a uno que sean a la vez lineales y homogéneas 75
Índice
3.3. Cómo hallar un conjunto fundamental de soluciones para ecuaciones lineales, homogéneas y a coeficientes constantes 79
3.4. Las ecuaciones de Euler 84
3.5. Sage aplicado a ecuaciones diferenciales lineales de orden superior a coeficientes constantes 86
3.5.1. Calculando wronskianos 86
3.5.2. Sage y las ecuaciones diferenciales de orden superior: 87
3.6. Problemas resueltos 90
3.7. Ejercicios 93
4. EDOs lineales de orden superior (II): ecuaciones no homogéneas 97
4.1. La solución general 98
4.2. Método de coeficientes indeterminados 99
4.3. Método de variación de los parámetros 102
4.4. Sage y las ecuaciones no homogéneas 105
4.4.1. Cómo definir y manejar en Sage funciones complicadas 105
4.4.2. Utilizando Sage para aplicar el método de los coeficientes indeterminados 108
4.4.3. Utilizando Sage para aplicar el método de variación de los parámetros 109
4.5. Problemas resueltos 110
4.6. Ejercicios 115
5. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 117
5.1. Los sistemas de ecuaciones diferenciales 117
5.2. Sistemas de ecuaciones lineales 119
5.3. Solución general de un sistema lineal 121
5.3.1. Cómo encontrar soluciones a un sistema lineal a coeficientes constantes homogéneo 123
5.3.2. La solución particular al sistema no homogéneo: el método de variación de los parámetros 127
5.4. El formalismo de la exponencial: otro método alternativo para encontrar una solución particular al sistema. 128
5.5. Estudio de las soluciones para sistemas bidimensionales lineales 130
5.5.1. Caso r1, r2 reales y distintos entre sí 130
5.5.2. Caso r1 = r2 133
5.5.3. Valores propios complejos 135
5.5.4. Resumen 138
5.6. Uso de Sage para resolver sistemas lineales de ecuaciones diferenciales 138
5.6.1. Como representar trayectorias parametrizadas y retratos de fases 139
5.6.2. Un ejemplo práctico del uso de Sage en la resolución
de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales 141
5.6.3. El comando desolve_system 144
5.7. Problemas resueltos 145
5.8. Ejercicios 153
6. Ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales 157
6.1. Series de potencias 158
6.2. Buscando la solución a las ecuaciones de segundo orden homogéneas 161
6.3. Series de potencias mediante Sage 165
6.4. Problemas resueltos 167
6.5. Ejercicios 170
7. Ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales (II): desarrollo en serie en torno a puntos ordinarios 173
7.1. La Ecuación y las funciones de Airy 173
7.2. La ecuación de Hermite 176
7.3. Caso general: desarrollo en torno a un punto ordinario 177
7.4. Usando Sage para trabajar con las funciones de Airy y Hermite 179
7.5. Problemas resueltos 180
7.6. Ejercicios 185
8. El método de Frobenius (I) 189
8.1. Puntos singulares regulares: el método de Frobenius 190
8.1.1. Un primer resumen sobre el método de Frobenius 196
8.2. Problemas resueltos 197
8.3. Ejercicios 202
9. El método de Frobenius (II) 205
9.1. Caso r1 = r2 206
9.2. Caso r1 =/ r2 tal que r1 r2 Є N 207
9.3. Reducción del orden 209
9.4. La función Γ de Euler, la función Beta y las funciones multifactoriales 210
9.5. Usando Sage: las funciones Gamma, Beta y los multifactoriales 214
9.6. Problemas resueltos 215
9.7. Ejercicios 223
10. Las ecuaciones y las funciones de Bessel 227
10.1. Generalidades sobre las ecuaciones de Bessel 228
10.2. Ecuación de Bessel para v = 0 229
10.2.1. La primera solución para v = 0 230
10.2.2. La segunda solución para v = 0 231
10.3. Ecuación de Bessel de orden v arbitrario 232
10.3.1. La primera solución a la ecuación de Bessel 233
10.3.2. La segunda solución cuando v no es ni un número entero ni un semientero 234
10.3.3. La segunda solución cuando v es un semientero 235
10.3.4. Segunda solución cuando v es un entero 236
10.4. Resumen 237
10.5. Problemas resueltos 238
10.6. Ejercicios 242
11.Propiedades de las funciones de Bessel 245
11.1. Relaciones de recurrencia 245
11.2. Función generatriz 246
11.3. Representaciones integrales 247
11.4. Ceros de las funciones de Bessel 249
11.5. Relaciones de ortogonalidad y desarrollo de una función en serie de Bessel 250
11.5.1. Las relaciones de ortogonalidad 250
11.5.2. Series de Bessel 252
11.6. Problemas resueltos 253
11.7. Ejercicios 258
12. Ecuaciones relacionadas con Bessel: hiperbólicas y esféricas. Las ecuaciones hipergeométricas 261
12.1. Funciones de Bessel hiperbólicas 262
12.2. Ecuaciones reducibles a la de Bessel 264
12.3. Funciones de Bessel esféricas 266
12.4. Comportamiento asintótico de las funciones de Bessel 267
12.5. La ecuación hipergeométrica 269
12.6. Problemas resueltos 273
12.7. Ejercicios 277
13. Una introducción a las ecuaciones diferenciales no lineales 281
13.1. Análisis cualitativo de ecuaciones no lineales de primer orden 282
13.2. El péndulo y otras ecuaciones ¿x(t) = f (x) no lineales 285
13.3. El análisis cualitativo de las soluciones en problemas autónomos 286
13.3.1. Linealización en torno de los puntos fijos de la ecuación 290
13.3.2. Interpretación de las ecuaciones linealizadas 292
13.3.3. Propiedades de las trayectorias en el espacio fásico útiles para realizar el análisis cualitativo 293
13.3.4. Análisis cualitativo de las trayectorias alrededor de puntos fijos 294
13.3.5. Ciclos Límite 300
13.4. Usando Sage: retratos de fase más elaborados 304
13.5. Problemas resueltos 306
13.6. Ejercicios 312
14. La transformada de Laplace aplicada a la resolución de ecuaciones diferenciales 317
14.1. La transformada de Laplace y su transformada inversa 318
14.2. El producto de convolución y su relación con la transformada de Laplace 320
14.3. Resolución de ecuaciones lineales a coeficientes constantes usando la transformada de Laplace 321
14.4. Resolución de ecuaciones lineales a coeficientes no constantes usando la transformada de Laplace 325
14.5. Problemas resueltos 328
14.6. Ejercicios 331
Apéndices 335
A. Demostración del teorema de existencia y unicidad 337
B. Comparativa Sage y Mathematica 347
C. El problema de valores propios 357
C.1. ¿Qué es un problema de valores propios? 357
C.2. ¿Cómo solucionar un problema de valores propios? 358
C.3. Como extraer los valores y vectores propios de una matriz usando Sage 361
D. Representación de funciones implícitas. La función de Lambert 365
D.1. Representación de funciones implícitas 365
Bibliografía 371